3). Вычислите: а). \(\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}\); б). \(\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}\).

Решение:

1. а) Вычисление дроби:

   Используем свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются.

   \[ \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} = \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 \]

   Вычисляем значение:

   \[ 6^2 = 36 \]

2. б) Вычисление дроби:

   Представим числа 27 и 9 как степени числа 3:

   \[ 27 = 3^3 \]

   \[ 9 = 3^2 \]

   Подставим в выражение:

   \[ \frac{3^{11} \cdot 3^3}{(3^2)^6} \]

   Используем свойство степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются.

   \[ \frac{3^{11+3}}{3^{2 \cdot 6}} = \frac{3^{14}}{3^{12}} \]

   При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

   \[ 3^{14-12} = 3^2 \]

   Вычисляем значение:

   \[ 3^2 = 9 \]

Ответ: а) 36; б) 9