3. В прямоугольном ДАВС с прямым углом С, ∠A=30°, гипотенуза АВ=16 см, катет АС=9 см. Найти катет ВС и периметр ДАВС.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) катет \( BC \) лежит напротив угла \( A \).

Используем теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\( 9^2 + BC^2 = 16^2 \).

\( 81 + BC^2 = 256 \).

\( BC^2 = 256 - 81 = 175 \).

\( BC = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7} \) см.

2. Периметр \( \triangle ABC \) равен сумме длин всех его сторон: \( P = AB + AC + BC \).

\( P = 16 + 9 + 5\sqrt{7} = 25 + 5\sqrt{7} \) см.

Примечание: По условию \( \angle A = 30^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Таким образом, \( BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 16 = 8 \) см. В условии задачи есть противоречие, так как \( AC=9 \) см, а \( BC \) должно быть \( 8 \) см. Проверим, удовлетворяет ли такое треугольник теореме Пифагора: \( 9^2 + 8^2 = 81 + 64 = 145 \), а \( 16^2 = 256 \). \( 145 \neq 256 \).
Если допустить, что \( AC=9 \) и \( AB=16 \) верны, то \( BC = 5\sqrt{7} \) и \( \angle A \) не равен \( 30^{\circ} \).

Предположим, что \( \angle A = 30^{\circ} \) и \( AB=16 \) верны. Тогда \( BC = 8 \) см, а \( AC = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \) см.

Решим задачу, используя данные \( \angle A = 30^{\circ} \) и \( AB=16 \) см, так как это более стандартная задача.

1. В прямоугольном \( \triangle ABC \) с \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \) и \( AB = 16 \) см:

Катет \( BC \), противолежащий углу \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы:

\( BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \) см.

2. Найдем катет \( AC \) по теореме Пифагора:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\( AC^2 + 8^2 = 16^2 \).

\( AC^2 + 64 = 256 \).

\( AC^2 = 256 - 64 = 192 \).

\( AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3} \) см.

3. Периметр \( \triangle ABC \) равен сумме длин всех его сторон:

\( P = AB + AC + BC = 16 + 8\sqrt{3} + 8 = 24 + 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: катет \( BC = 8 \) см, периметр \( \triangle ABC = 24 + 8\sqrt{3} \) см.