3. Укажите решение неравенства х - x² > 0.

Привет! Давай решим это квадратное неравенство. Здесь нам поможет метод интервалов.

1. Шаг 1: Находим корни уравнения

   Сначала приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, которые разделят числовую прямую на интервалы:

   x - x² = 0

   Вынесем x за скобки:

   x(1 - x) = 0

   Это означает, что либо x = 0, либо 1 - x = 0. Из второго уравнения получаем x = 1.

   Итак, наши корни: 0 и 1.

2. Шаг 2: Строим числовую прямую и определяем знаки

   Отметим точки 0 и 1 на числовой прямой. Эти точки — наши границы интервалов. Так как неравенство строгое (>), точки 0 и 1 не будут включены в решение (они будут «выколотыми»).

   Теперь определим знак выражения x - x² на каждом из трех интервалов: (-∞; 0), (0; 1) и (1; +∞).

   Интервал (1; +∞): Возьмем любое число из этого интервала, например, x = 2. Подставим в выражение: 2 - 2² = 2 - 4 = -2. Знак «минус».

   Интервал (0; 1): Возьмем, например, x = 0.5. Подставим: 0.5 - (0.5)² = 0.5 - 0.25 = 0.25. Знак «плюс».

   Интервал (-∞; 0): Возьмем, например, x = -1. Подставим: -1 - (-1)² = -1 - 1 = -2. Знак «минус».

3. Шаг 3: Выбираем нужный интервал

   Нам нужно, чтобы выражение x - x² было больше нуля (> 0). Это соответствует интервалу, где мы получили знак «плюс».

   Таким интервалом является (0; 1).

   Смотрим на варианты:

   • 1) (0; +∞) — не подходит.
   • 2) (0; 1) — подходит!
   • 3) (-∞; 0) U (1; +∞) — здесь знаки минус, не подходит.
   • 4) (-∞; 0) — не подходит.

Ответ: 2)