3. Треугольник DEF задан координатами вершин: D(-3;4), E(3;7), F(3;-1). а) Докажите, что ΔDEF — равнобедренный. б) Найдите длину высоты, проведённой из вершины D.

а) Проверим длины сторон по формулам квадратов расстояний:

\[DE^2=(3-(-3))^2+(7-4)^2=6^2+3^2=45,\]

\[DF^2=(3-(-3))^2+(-1-4)^2=6^2+(-5)^2=61,\]

\[EF^2=(3-3)^2+(-1-7)^2=0+(-8)^2=64.\]

Квадраты длин сторон различны: \(45\), \(61\) и \(64\). Следовательно, по указанным координатам треугольник не является равнобедренным. Поэтому доказать утверждение пункта а) невозможно; вероятно, в условии есть опечатка.

б) Сторона \(EF\) вертикальна, так как у точек \(E\) и \(F\) одинаковая абсцисса: \(x=3\). Высота из точки \(D(-3;4)\) перпендикулярна вертикальной прямой \(EF\), поэтому она горизонтальна. Её длина равна расстоянию между прямыми \(x=-3\) и \(x=3\):

\[h_D=|3-(-3)|=6.\]

Ответ: по данным координатам треугольник неравнобедренный; высота из вершины \(D\) равна \(6\).