3. Тип 3 № 98 i Найдите значение выражения: \( \frac{4x - 25y}{2\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} - 3\sqrt{y} \), если \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \)

Решение:

Сначала упростим дробную часть выражения. Заметим, что числитель \( 4x - 25y \) можно представить как разность квадратов:

\( 4x = (2\sqrt{x})^2 \) и \( 25y = (5\sqrt{y})^2 \).

Таким образом, числитель равен \( (2\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2 \).

По формуле разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), имеем:

\( (2\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y}) \).

Теперь подставим это в дробь:

\( \frac{(2\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y})}{2\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} \)

Сократим одинаковые множители \( (2\sqrt{x} - 5\sqrt{y}) \) (при условии, что \( 2\sqrt{x} \neq 5\sqrt{y} \)):

\( 2\sqrt{x} + 5\sqrt{y} \)

Исходное выражение теперь выглядит так:

\( (2\sqrt{x} + 5\sqrt{y}) - 3\sqrt{y} \)

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\( 2\sqrt{x} + 5\sqrt{y} - 3\sqrt{y} = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \)

Нам дано, что \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \). Подставим это значение:

\( 2 \cdot 4 = 8 \)

Ответ: 8.