3. Решите уравнение: 3) sin5x + sin3x - cosx = 0

Краткая запись:

• sin(5x) + sin(3x) - cos(x) = 0

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Применяем формулу суммы синусов к первым двум членам:
• sin(5x) + sin(3x) = 2sin((5x+3x)/2)cos((5x-3x)/2) = 2sin(4x)cos(x)
2. Шаг 2: Подставляем обратно в уравнение:
• 2sin(4x)cos(x) - cos(x) = 0
3. Шаг 3: Выносим общий множитель cos(x) за скобки:
• cos(x) * (2sin(4x) - 1) = 0
4. Шаг 4: Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
• cos(x) = 0 или 2sin(4x) - 1 = 0
5. Шаг 5: Решаем каждое из уравнений:
• Если cos(x) = 0, то x = π/2 + πn, где n ∈ ℤ.
• Если 2sin(4x) - 1 = 0, то 2sin(4x) = 1, sin(4x) = 1/2.
6. Шаг 6: Решаем уравнение sin(4x) = 1/2:
• 4x = π/6 + 2πk или 4x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.
7. Шаг 7: Находим x из этих уравнений:
• x = π/24 + πk/2
• x = 5π/24 + πk/2

Ответ: x = π/2 + πn; x = π/24 + πk/2; x = 5π/24 + πk/2, где n, k ∈ ℤ.