3. Решите уравнение: 2) 4cos²x + 2,5 sin 2x - 3 sin² x = 3

Краткая запись:

• 4cos²x + 2.5 sin(2x) - 3 sin²x = 3

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заменяем sin(2x) по формуле двойного угла:
• 4cos²x + 2.5 * (2sin(x)cos(x)) - 3 sin²x = 3
• 4cos²x + 5sin(x)cos(x) - 3 sin²x = 3
2. Шаг 2: Также можно использовать формулу 3 = 3 * (sin²x + cos²x) и подставить ее справа.
• 4cos²x + 5sin(x)cos(x) - 3 sin²x = 3(sin²x + cos²x)
• 4cos²x + 5sin(x)cos(x) - 3 sin²x = 3sin²x + 3cos²x
3. Шаг 3: Переносим все члены в левую часть:
• (4cos²x - 3cos²x) + 5sin(x)cos(x) + (-3sin²x - 3sin²x) = 0
• cos²x + 5sin(x)cos(x) - 6 sin²x = 0
4. Шаг 4: Это однородное уравнение второй степени относительно sinx и cosx. Делим обе части на cos²x (при условии, что cosx ≠ 0):
• 1 + 5(sinx/cosx) - 6(sin²x/cos²x) = 0
• 1 + 5tg(x) - 6tg²(x) = 0
5. Шаг 5: Вводим замену: пусть u = tg(x). Получаем квадратное уравнение:
• -6u² + 5u + 1 = 0
• 6u² - 5u - 1 = 0
6. Шаг 6: Решаем квадратное уравнение:
• D = (-5)² - 4 * 6 * (-1) = 25 + 24 = 49
• √D = 7
• u₁ = (5 + 7) / (2 * 6) = 12 / 12 = 1
• u₂ = (5 - 7) / (2 * 6) = -2 / 12 = -1/6
7. Шаг 7: Возвращаемся к замене u = tg(x):
• tg(x) = 1
• tg(x) = -1/6
8. Шаг 8: Находим x:
• Если tg(x) = 1, то x = π/4 + πn, где n ∈ ℤ.
• Если tg(x) = -1/6, то x = arctg(-1/6) + πk, где k ∈ ℤ.
9. Шаг 9: Проверяем, не было ли деление на ноль (cos x = 0). Если cos x = 0, то x = π/2 + πm. При этих значениях x, sin²x = 1. Подставляем в исходное уравнение: 4*0 + 2.5*0 - 3*1 = -3 ≠ 3. Следовательно, cosx ≠ 0.

Ответ: x = π/4 + πn; x = arctg(-1/6) + πk, где n, k ∈ ℤ.