3. Найдите значение выражения \( \left( \frac{a}{b} \right)^b \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^a \) при \(a = 1 \) и \(b = \frac{1}{3}\)

Решение:

Подставим значения \( a = 1 \) и \( b = \frac{1}{3} \) в выражение:

\[ \left( \frac{1}{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left( \frac{\frac{1}{3}}{1} \right)^{1} \]

Упростим дроби:

\[ \left( 3 \right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{1} \]

Перепишем \(\frac{1}{3}\) как \(3^{-1}\):

\[ 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-1} \]

Сложим степени:

\[ 3^{\frac{1}{3} - 1} = 3^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = 3^{-\frac{2}{3}} \]

Ответ: \(3^{-\frac{2}{3}}\).