3. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Докажите, что отрезки АЕ и CF равны.

Задание 3. Доказательство равенства отрезков

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• O — точка пересечения диагоналей AC и BD.
• Прямая проходит через O и пересекает AB в точке E, а CD в точке F.

Доказать: AE = CF.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOE и COF.

1. Углы при вершине O: \( \angle AOE = \angle COF \) как вертикальные углы.
2. Углы при основании:
• \( \angle EAO = \angle FCO \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.
• \( \angle AEO = \angle CFO \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей EF.

Так как \( \angle EAO = \angle FCO \) и \( \angle AEO = \angle CFO \) и \( \angle AOE = \angle COF \), то треугольники AOE и COF подобны (по трем углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

\[ \frac{AE}{CF} = \frac{AO}{CO} = \frac{EO}{FO} \]

В параллелограмме диагонали пересекаются в точке О, которая делит каждую диагональ пополам. Значит, \( AO = CO \).

Следовательно, отношение \( \frac{AO}{CO} = 1 \).

Значит, \( \frac{AE}{CF} = 1 \), что означает \( AE = CF \).

Что и требовалось доказать.