3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \(81^{x-x^2} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+2}\);

3. Решите неравенство:

1. \( 81^{x-x^2} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{3x+2} \)

Представим оба основания в виде степени 3:

\( (3^4)^{x-x^2} \ge (3^{-1})^{3x+2} \)

\( 3^{4(x-x^2)} \ge 3^{-(3x+2)} \)

Так как основание степени \( 3 > 1 \), показатели степеней можно сравнить, сохранив знак неравенства:

\( 4(x-x^2) \ge -(3x+2) \)

\( 4x - 4x^2 \ge -3x - 2 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( -4x^2 + 4x + 3x + 2 \ge 0 \)

\( -4x^2 + 7x + 2 \ge 0 \)

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

\( 4x^2 - 7x - 2 \le 0 \)

Найдём корни квадратного трёхчлена \( 4x^2 - 7x - 2 = 0 \) через дискриминант:

\( D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 \)

\( x_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -0.25 \)

\( x_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2 \)

Парабола \( y = 4x^2 - 7x - 2 \) ветвями вверх. Неравенство \( 4x^2 - 7x - 2 \le 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( x \in [-0.25; 2] \).