28. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=16, BC=4. Найдите AD.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд (или секущих) для окружности:

\( AK \cdot KB = CK \cdot KD \)

Также, по свойству подобных треугольников \( \triangle KBC \sim \triangle KDA \), следует:

\( \frac{KB}{KA} = \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} \)

Из \( \frac{KB}{KA} = \frac{KC}{KD} \) следует \( KB \cdot KD = KA \cdot KC \), что не совсем верно в данной формулировке.

Правильное свойство: \( BK \cdot KA = CK \cdot KD \) (если точки K, B, A и K, C, D лежат на одной прямой, а точка пересечения K снаружи окружности). В данном случае K - точка пересечения продолжений сторон AB и CD, значит K находится вне окружности.

\( AB = AK - BK \)

\( CD = CK - DK \)

Нам дано: \( BK = 8 \), \( DK = 16 \), \( BC = 4 \).

Из подобия \( \triangle KBC \sim \triangle KDA \) имеем:

\( \frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{DA} \)

У нас не хватает \( KC \) и \( KA \).

Однако, если точки K, A, B и K, D, C лежат на прямых, то \( KB \cdot KA = KC \cdot KD \).

Проведем аналогию с теоремой о секущих: \( KB · KA = KC · KD \). Это неверно.

Используем теорему о секущих, если K — точка пересечения продолжений сторон AB и CD:

\( KB · KA = KC · KD \). Это тоже неверно.

По теореме о произведениях отрезков секущих, проведенных из одной точки:

\( KB · (KB + BA) = KC · (KC + CD) \)

\( KB · KA = KC · KD \)

Также \( \triangle KBC \sim \triangle KDA \)

\( \frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{AD} \)

Из \( \frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD} \) мы не можем найти AD, так как \( KB \) и \( KD \) не относятся к сторонам, выходящим из K. Это относится к сторонам, которые пересекает секущая.

Правильно: \( BK · KA = CK · KD \) (если K — точка пересечения хорд AB и CD внутри окружности). Но тут прямые AB и CD пересекаются, значит K снаружи.

Если K - точка пересечения продолжений сторон AB и CD, то \( \triangle KBC \sim \triangle KDA \). Из этого следует:

\( \frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{DA} \)

Нам дано \( BK = 8 \), \( DK = 16 \), \( BC = 4 \). У нас нет \( KA \) и \( KC \).

Рассмотрим другую пару подобных треугольников: \( \triangle KAC \sim \triangle KDB \).

\( \frac{KA}{KD} = \frac{KC}{KB} = \frac{AC}{DB} \)

Этого тоже не дано.

Используем свойство касательной и секущей, или двух секущих.

Если \( K \) — точка пересечения продолжений сторон \( AB \) и \( CD \) вне окружности, то:

\( KB · KA = KC · KD \)

\( 8 · KA = KC · 16 \)

Из подобия \( \triangle KBC \sim \triangle KDA \) следует:

\( \frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{DA} \)

\( \frac{8}{16} = \frac{KC}{KA} = \frac{4}{AD} \)

Из \( \frac{8}{16} = \frac{4}{AD} \) следует \( \frac{1}{2} = \frac{4}{AD} \). Значит, \( AD = 2 · 4 = 8 \).

Ответ: 8