27 RTKL-42, SRKLT-?

Решение:

Дан четырёхугольник RTKL, в который вписана окружность. По условию:

\( P_{RTKL} = 42 \)

Из рисунка видно, что:

\( RK = 8 \)

\( TL = ? \)

\( RT = ? \)

\( KL = ? \)

По свойству четырёхугольника, в который вписана окружность, сумма противоположных сторон равна:

\( RT + KL = RK + TL \)

Периметр четырёхугольника \( P_{RTKL} = RT + TK + KL + LR = (RT + KL) + (RK + TL) \)

Так как \( P_{RTKL} = 42 \), то \( (RT + KL) + (RK + TL) = 42 \).

По свойству описанного четырёхугольника \( RT + KL = RK + TL \).

Следовательно, \( 2 \cdot (RT + KL) = 42 \) и \( 2 \cdot (RK + TL) = 42 \).

Из этого следует, что \( RK + TL = 42 / 2 = 21 \).

По рисунку \( RK = 8 \).

\( 8 + TL = 21 \)

\( TL = 21 - 8 \)

\( TL = 13 \)

Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность, равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Но у нас нет радиуса. Однако, если четырехугольник является вписанным и описанным одновременно (т.е. является точкой касания), то это ромб. У нас не ромб. Если это ромб, то диагонали перпендикулярны. У нас не ромб.

В задаче просят найти \( S_{RKLT} \). По условию, \( P_{RTKL} = 42 \). Площадь четырёхугольника, описанного около окружности, может быть вычислена по формуле \( S = rs \), где \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( s \) — полупериметр. Полупериметр \( s = P/2 = 42/2 = 21 \).

На рисунке радиус вписанной окружности равен 8. Тогда площадь будет:

\( S = r \cdot s = 8 \cdot 21 = 168 \)

Ответ: 168