269 Высоты АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.

Решение:

Дано \( \triangle ABC \) с \( \angle A = 55^{\circ} \) и \( \angle B = 67^{\circ} \). Высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M.

Сначала найдём \( \angle C \) в \( \triangle ABC \):

• \( \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 67^{\circ}) = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \)

AA₁ — высота, значит \( AA_1 \perp BC \), и \( \angle AA_1B = 90^{\circ} \).

BB₁ — высота, значит \( BB_1 \perp AC \), и \( \angle BB_1A = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle AMB \).

Угол \( \angle MAB \) является частью \( \angle CAB \), а именно \( \angle MAB = \angle CAB - \angle CAA_1 \).

Угол \( \angle MBA \) является частью \( \angle CBA \), а именно \( \angle MBA = \angle CBA - \angle CBB_1 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁B. \( \angle ABA_1 = \angle ABC = 67^{\circ} \).

В \( \triangle ABA_1 \): \( \angle BAA_1 = 90^{\circ} - \angle ABA_1 = 90^{\circ} - 67^{\circ} = 23^{\circ} \). Так как AA₁ — высота, \( \angle AA_1B = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁A. \( \angle ABB_1 = \angle ABC = 67^{\circ} \).

В \( \triangle BB_1A \): \( \angle BAB_1 = 90^{\circ} - \angle ABB_1 = 90^{\circ} - 67^{\circ} = 23^{\circ} \). Это неверно. \( \angle BAB_1 \) это \( \angle BAC \) = 55°.

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ACA_1 \). \( \angle CAA_1 = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ} \). Это неверно. \( \angle CAA_1 \) это часть \( \angle CAB \).

Рассмотрим \( \triangle ABM \). Нам нужно найти \( \angle AMB \).

В \( \triangle ABM \), \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle MAB - \angle MBA \).

\( \angle MAB \) - это \( \angle A \) треугольника. Нет, \( \angle MAB \) это \( \angle CAB \) за вычетом \( \angle BAA_1 \).

Угол \( \angle MAB \) — это \( \angle CAB \) (55°) минус \( \angle BAA_1 \).

В прямоугольном \( \triangle AA_1C \): \( \angle ACA_1 = \angle C = 58^{\circ} \). \( \angle CAA_1 = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle BB_1C \): \( \angle CBB_1 = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ} \). Это неверно. \( \angle CBB_1 \) — это часть \( \angle ABC \).

В прямоугольном \( \triangle ABB_1 \): \( \angle BAB_1 = \angle A = 55^{\circ} \). \( \angle AB B_1 = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle BAA_1 \): \( \angle ABA_1 = \angle B = 67^{\circ} \). \( \angle BAA_1 = 90^{\circ} - 67^{\circ} = 23^{\circ} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ABM \).

• \( \angle MAB = \angle CAB - \angle BAA_1 = 55^{\circ} - 23^{\circ} = 32^{\circ} \).
• \( \angle MBA = \angle ABC - \angle ABB_1 = 67^{\circ} - 35^{\circ} = 32^{\circ} \).

Итак, в \( \triangle ABM \):

• \( \angle MAB = 32^{\circ} \)
• \( \angle MBA = 32^{\circ} \)

Находим \( \angle AMB \):

• \( \angle AMB = 180^{\circ} - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^{\circ} - (32^{\circ} + 32^{\circ}) = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ} \)

Ответ: ∠AMB = 116°.