268 Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ И АС остро-угольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). Высоты BH (к AC) и CK (к AB) пересекаются в точке M. \( BH \perp AC \) и \( CK \perp AB \).

Рассмотрим \( \triangle BMC \). Сумма углов в \( \triangle BMC \) равна \( 180^{\circ} \).

• \( \angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^{\circ} \)
• \( \angle MBC + \angle MCB + 140^{\circ} = 180^{\circ} \)
• \( \angle MBC + \angle MCB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \)

Теперь рассмотрим \( \triangle ABH \) и \( \triangle ACK \). Они прямоугольные.

В \( \triangle BHC \): \( \angle HBC = \angle MBC \) (так как BH — высота, а M лежит на ней). \( \angle HCB = \angle MCB \).

Так как \( BH \perp AC \) и \( CK \perp AB \), то \( \angle BHC = 90^{\circ} \) и \( \angle CKA = 90^{\circ} \).

В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = \angle BAC \), \( \angle ABM = \angle ABC - \angle MBC \). \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BAM - \angle ABM \).

Рассмотрим \( \triangle BDC \) (где D — точка на AC, BD - высота). \( \angle DBC = 90^{\circ} - \angle C \).

Так как \( \angle MBC \) — это \( \angle HBC \), и \( \triangle BHC \) прямоугольный, то \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C \).

Так как \( \angle MCB \) — это \( \angle KCB \), и \( \triangle CKB \) прямоугольный, то \( \angle KCB = 90^{\circ} - \angle B \).

Но \( \angle B = \angle C \) (т.к. \( \triangle ABC \) равнобедренный).

Таким образом, \( \angle MBC = 90^{\circ} - \angle C \) и \( \angle MCB = 90^{\circ} - \angle B \).

Следовательно, \( \angle MBC = \angle MCB \).

Подставляем это в сумму углов \( \triangle BMC \):

• \( \angle MBC + \angle MCB = 40^{\circ} \)
• \( 2 \angle MBC = 40^{\circ} \)
• \( \angle MBC = 20^{\circ} \)

Значит, \( \angle MCB = 20^{\circ} \).

Теперь найдём углы \( \triangle ABC \):

• \( \angle B = \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC \).
• \( \angle C = \angle ACB = \angle ACK + \angle KCB \).

В \( \triangle ABH \): \( \angle BAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - \angle ABH \).

\( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \).

Из \( \triangle ABH \), \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle BAC \).

Из \( \triangle ACK \), \( \angle ACK = 90^{\circ} - \angle BAC \).

Вернёмся к \( \triangle BMC \): \( \angle MBC = 20^{\circ} \) и \( \angle MCB = 20^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC \) состоит из \( \angle ABM \) и \( \angle MBC \).

Угол \( \angle ACB \) состоит из \( \angle ACK \) и \( \angle KCB \).

Мы знаем, что \( \angle B = \angle C \).

\( \angle MBC \) - это часть \( \angle ABC \). \( \angle MCB \) - это часть \( \angle ACB \).

В \( \triangle BMC \), \( \angle MBC = \angle ABC - \angle ABM \) и \( \angle MCB = \angle ACB - \angle ACK \).

Из \( \triangle CKC \) (где K на AB), \( \angle KCB = 90^{\circ} - \angle KBC \).

Из \( \triangle BHB \) (где H на AC), \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle HCB \).

Поскольку \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( \angle B = \angle C \).

Рассмотрим \( \triangle ABH \). \( \angle BAH = \angle BAC \), \( \angle AHB = 90^{\circ} \), \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle BAC \).

Рассмотрим \( \triangle ACK \). \( \angle CAK = \angle BAC \), \( \angle AKC = 90^{\circ} \), \( \angle ACK = 90^{\circ} - \angle BAC \).

Значит \( \angle ABH = \angle ACK \). Это углы, смежные с \( \angle ABM \) и \( \angle ACM \) соответственно, но это не совсем так.

\( \angle ABM \) - это часть \( \angle ABC \). \( \angle ACM \) - это часть \( \angle ACB \).

В \( \triangle BMC \), \( \angle MBC = 20^{\circ} \) и \( \angle MCB = 20^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC \)

\( \angle ACB = \angle ACK + \angle KCB \)

Рассмотрим \( \triangle ABM \). \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BAM - \angle ABM \).

\( \angle AMB \) не равно \( \angle BMC \).

Рассмотрим четырёхугольник BKHC. \( \angle BKH = \angle BHC = 90^{\circ} \). \( \angle BKC = \angle BHC = 90^{\circ} \).

Четырёхугольник BKHC вписан в окружность с диаметром BC.

\( \angle BKM = \angle BHM = 90^{\circ} \).

В \( \triangle BMC \): \( \angle MBC = 20^{\circ} \), \( \angle MCB = 20^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \) и \( \angle ACB = \angle ACK + \angle KCB \).

\( \angle HBC \) — это \( \angle MBC \). \( \angle KCB \) — это \( \angle MCB \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( \angle ABC = \angle ACB \).

\( \angle MBC = 90^{\circ} - \angle C \) (из \( \triangle BHC \)).

\( \angle MCB = 90^{\circ} - \angle B \) (из \( \triangle CKB \)).

Поскольку \( \angle B = \angle C \), то \( \angle MBC = \angle MCB \). Мы это уже выяснили.

\( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \).

\( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle BAC \).

\( \angle HBC = 20^{\circ} \).

\( \angle ABC = (90^{\circ} - \angle BAC) + 20^{\circ} = 110^{\circ} - \angle BAC \).

\( \angle ACB = \angle ACK + \angle KCB \).

\( \angle ACK = 90^{\circ} - \angle BAC \).

\( \angle KCB = 20^{\circ} \).

\( \angle ACB = (90^{\circ} - \angle BAC) + 20^{\circ} = 110^{\circ} - \angle BAC \).

Это подтверждает, что \( \angle ABC = \angle ACB \).

Теперь используем сумму углов в \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).

• \( \angle BAC + (110^{\circ} - \angle BAC) + (110^{\circ} - \angle BAC) = 180^{\circ} \)
• \( \angle BAC + 220^{\circ} - 2 \angle BAC = 180^{\circ} \)
• \( 220^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} \)
• \( \angle BAC = 220^{\circ} - 180^{\circ} = 40^{\circ} \)

Теперь находим \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \):

• \( \angle ABC = \angle ACB = 110^{\circ} - \angle BAC = 110^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ} \)

Проверка:

• \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 40^{\circ} + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.
• \( \angle MBC = 20^{\circ} \) и \( \angle MCB = 20^{\circ} \).
• \( \angle ABC = 70^{\circ} \). \( \angle ABM = \angle ABC - \angle MBC = 70^{\circ} - 20^{\circ} = 50^{\circ} \).
• \( \angle ACB = 70^{\circ} \). \( \angle ACK = \angle ACB - \angle KCB = 70^{\circ} - 20^{\circ} = 50^{\circ} \).
• В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = 40^{\circ} \), \( \angle ABM = 50^{\circ} \). \( \angle AMB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 50^{\circ} = 90^{\circ} \).
• В \( \triangle ACM \): \( \angle CAM = 40^{\circ} \), \( \angle ACM = 50^{\circ} \). \( \angle AMC = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 50^{\circ} = 90^{\circ} \).
• \( \angle BMC = 140^{\circ} \) — это угол между высотами.
• Углы, которые образуют высоты с основанием: \( \angle MBC = 20^{\circ} \), \( \angle MCB = 20^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 40°, 70°, 70°.