25. Стороны АС, АВ, ВС треугольника АВС равны 2√5, √11 и 2 соответственно. Точка К расположена вне треугольника АВС, причем отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если ∠КАС > 90°.

По условию, треугольник KAC подобен треугольнику ABC. Возможны два случая подобия: KAC ~ ABC или KAC ~ BAC.
Случай 1: KAC ~ ABC. Тогда KA/AB = AC/BC = KC/AC. KA/√11 = 2√5/2 = √5 => KA = √55. AC/BC = 2√5/2 = √5. KC/AC = √5 => KC = √5 * 2√5 = 10.
По теореме косинусов для треугольника KAC: KC² = KA² + AC² - 2*KA*AC*cos(∠КАС). 10² = (√55)² + (2√5)² - 2*√55*2√5*cos(∠КАС). 100 = 55 + 20 - 4√275*cos(∠КАС). 100 = 75 - 4*5√11*cos(∠КАС). 25 = -20√11*cos(∠КАС). cos(∠КАС) = -25 / (20√11) = -5 / (4√11) = -5√11 / 44. Так как ∠КАС > 90°, косинус отрицательный, что соответствует этому случаю.
Случай 2: KAC ~ BAC. Тогда KA/BA = AC/AC = KC/BC. KA/√11 = 1 => KA = √11. KC/2 = 1 => KC = 2. По теореме косинусов для треугольника KAC: KC² = KA² + AC² - 2*KA*AC*cos(∠КАС). 2² = (√11)² + (2√5)² - 2*√11*2√5*cos(∠КАС). 4 = 11 + 20 - 4√55*cos(∠КАС). 4 = 31 - 4√55*cos(∠КАС). 4√55*cos(∠КАС) = 27. cos(∠КАС) = 27 / (4√55) = 27√55 / 220. Этот косинус положительный, что противоречит условию ∠КАС > 90°.
Ответ: -5√11 / 44