25. Окружности с радиусами 27 и 81 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D на второй. При этом АС и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Решение:

Обозначим радиусы окружностей как \( r_1 = 27 \) и \( r_2 = 81 \).

Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами \( O_1 \) и \( O_2 \) равно сумме их радиусов:

\[ O_1 O_2 = r_1 + r_2 = 27 + 81 = 108 \]

\( AC \) и \( BD \) — общие внешние касательные. Расстояние между точками касания \( A \) и \( C \) на касательной \( AC \) можно найти по формуле длины общей внешней касательной:

\[ AC = \sqrt{(O_1 O_2)^2 - (r_2 - r_1)^2} \]

\[ AC = \sqrt{108^2 - (81 - 27)^2} \]

\[ AC = \sqrt{108^2 - 54^2} \]

\[ AC = \sqrt{(108 - 54)(108 + 54)} \]

\[ AC = \sqrt{54 × 162} \]

\[ AC = \sqrt{54 × (3 × 54)} \]

\[ AC = \sqrt{54^2 × 3} \]

\[ AC = 54\sqrt{3} \]

Аналогично, \( BD = 54\sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle O_1AC \). Это прямоугольный треугольник, где \( \angle O_1AC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим расстояние между прямыми \( AB \) и \( CD \). Для этого проведем прямую, перпендикулярную обеим касательным. Пусть \( h \) — это расстояние между прямыми \( AB \) и \( CD \).

Существует формула для расстояния между прямыми, соединяющими точки касания общих внешних касательных:

\[ h = \frac{2 r_1 r_2}{O_1 O_2} \]

Подставим значения:

\[ h = \frac{2 × 27 × 81}{108} \]

\[ h = \frac{2 × 27 × 81}{4 × 27} \]

\[ h = \frac{2 × 81}{4} \]

\[ h = \frac{81}{2} \]

\[ h = 40.5 \]

Ответ: 40.5