25. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.

1. Пусть острые углы равны $$\alpha$$ и $$\beta$$. Тогда $$\alpha + \beta = 90°$$.

2. Площадь прямоугольного треугольника $$S = \frac{1}{2}ab$$, где a и b - катеты. $$18 = \frac{1}{2}ab \implies ab = 36$$.

3. По теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = 12^2 = 144$$.

4. $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 144 + 2(36) = 144 + 72 = 216$$. $$a+b = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$$.

5. Рассмотрим уравнение $$x^2 - (a+b)x + ab = 0$$, т.е. $$x^2 - 6\sqrt{6}x + 36 = 0$$. Решая его, находим катеты. Далее, используя тригонометрию, находим углы.

6. Также, $$S = \frac{1}{2}c^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(12^2) \sin(\alpha) = 72 \sin(\alpha)$$. $$18 = 72 \sin(\alpha) \implies \sin(\alpha) = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$$.

7. $$\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$$. $$\beta = 90° - \arcsin(\frac{1}{4})$$.

Ответ: $$\arcsin(\frac{1}{4})$$ и $$90° - \arcsin(\frac{1}{4})$$.