240 Найдите значения выражений: a) x² + √y², x² + y², и √(x + y)² при x = 5, y = 12; б) √x² - √y², √x²- y², и √(x - y)² при x = 25, y = 24.

Будем подставлять значения {$$ x \f$$} и {$$ y \f$$} в каждое выражение и вычислять.

а) При $$ x = 5 $$, $$ y = 12 $$:

Заметим, что {$$ \sqrt{y^2} = |y| \f$$} и {$$ \sqrt{(x+y)^2} = |x+y| \f$$}. Так как {$$ y \f$$} и {$$ x+y \f$$} положительны, то модули можно опустить.

• $$ {x^2 + \sqrt{y^2}} $$: {$$ 5^2 + \sqrt{12^2} = 25 + 12 = 37 \f$$}.
• $$ {x^2 + y^2} $$: {$$ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \f$$}.
• $$ {\sqrt{(x+y)^2}} $$: {$$ \sqrt{(5+12)^2} = \sqrt{17^2} = 17 \f$$}.

б) При $$ x = 25 $$, $$ y = 24 $$:

Здесь также {$$ \sqrt{x^2} = |x| \f$$}, {$$ \sqrt{y^2} = |y| \f$$}, {$$ \sqrt{(x-y)^2} = |x-y| \f$$}. Так как {$$ x \f$$}, {$$ y \f$$} и {$$ x-y \f$$} положительны, модули можно опустить.

• $$ {\sqrt{x^2} - \sqrt{y^2}} $$: {$$ \sqrt{25^2} - \sqrt{24^2} = 25 - 24 = 1 \f$$}.
• $$ {\sqrt{x^2 - y^2}} $$: {$$ \sqrt{25^2 - 24^2} \f$$}. Можно использовать формулу разности квадратов: {$$ \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7 \f$$}.
• $$ {\sqrt{(x-y)^2}} $$: {$$ \sqrt{(25-24)^2} = \sqrt{1^2} = 1 \f$$}.

Ответ: а) 37, 169, 17; б) 1, 7, 1.