24. Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина стороны AB.

Доказательство:

Пусть \( CL \) — биссектриса угла \( C \) и \( DL \) — биссектриса угла \( D \) параллелограмма \( ABCD \). Точка \( L \) лежит на стороне \( AB \).

По свойству параллелограмма, противоположные углы равны: \( \angle C = \angle D \).

По свойству биссектрисы, она делит угол пополам. Значит, \( \angle CLD = \angle C / 2 \) и \( \angle CLD = \angle D / 2 \).

Так как \( AB \parallel CD \) и \( CL \) — секущая, то \( \angle CLD = \angle BCL \) (как накрест лежащие углы).

Из этого следует, что \( \angle BCL = \angle C / 2 \).

Рассмотрим треугольник \( BCL \). Угол \( \angle B \) равен углу \( \angle D \) (противоположные углы параллелограмма), и \( \angle C = \angle D \), следовательно \( \angle C = \angle B \).

В треугольнике \( BCL \): \( \angle CBL = \angle B \), \( \angle BCL = \angle C / 2 \).

Мы знаем, что \( \angle C = \angle D \) и \( AB \parallel CD \).

Рассмотрим \( △ BCL \): \( \angle CBL \) — угол параллелограмма. \( \angle BCL \) — половина угла \( C \). \( \angle CLB \) — угол, образованный пересечением биссектрис.

По свойству параллелограмма, \( \angle C + \angle D = 180^{\circ} \). Так как \( \angle C = \angle D \), то \( \angle C = \angle D = 90^{\circ} \). Это значит, что параллелограмм является прямоугольником.

Если \( \angle C = \angle D = 90^{\circ} \), то \( \angle BCL = 45^{\circ} \) и \( \angle CDL = 45^{\circ} \).

В \( △ BCL \), \( \angle CBL = 90^{\circ} \). \( \angle BCL = 45^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике \( 180^{\circ} \), значит \( \angle CLB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Таким образом, \( △ BCL \) — равнобедренный, так как \( \angle BCL = \angle CLB = 45^{\circ} \). Следовательно, \( BC = BL \).

Аналогично, в \( △ ADL \): \( \angle DAL = 90^{\circ} \) (угол параллелограмма), \( \angle ADL = \angle D / 2 = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \). Тогда \( \angle ALD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

\( △ ADL \) — равнобедренный, так как \( \angle ADL = \angle ALD = 45^{\circ} \). Следовательно, \( AD = AL \).

В параллелограмме \( ABCD \) противоположные стороны равны, то есть \( BC = AD \).

Значит, \( BL = BC = AD = AL \).

Так как \( L \) лежит на стороне \( AB \), то \( AB = AL + LB \).

Поскольку \( AL = BL \), то \( AB = AL + AL = 2AL \) или \( AB = BL + BL = 2BL \).

Это означает, что \( L \) является серединой стороны \( AB \).

Доказано.