22. Постройте график функции y = { x - 3, x < 3; -2x + 3.5, 3 ≤ x ≤ 4; 2x - 12.5, x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график функции по частям:

1. Первая часть: \( y = x - 3 \) при \( x < 3 \). Это прямая. При \( x = 3 \), \( y = 3 - 3 = 0 \) (точка (3, 0) — выколотая). При \( x = 0 \), \( y = -3 \).
2. Вторая часть: \( y = -2x + 3.5 \) при \( 3 \le x \le 4 \). Это отрезок прямой. При \( x = 3 \), \( y = -2(3) + 3.5 = -6 + 3.5 = -2.5 \) (точка (3, -2.5) — закрашенная). При \( x = 4 \), \( y = -2(4) + 3.5 = -8 + 3.5 = -4.5 \) (точка (4, -4.5) — закрашенная).
3. Третья часть: \( y = 2x - 12.5 \) при \( x > 4 \). Это луч. При \( x = 4 \), \( y = 2(4) - 12.5 = 8 - 12.5 = -4.5 \) (точка (4, -4.5) — выколотая, но совпадающая с предыдущей точкой).

Теперь построим график на основе этих точек и линий. Затем проведём горизонтальные прямые \( y = m \) и будем искать, при каких \( m \) таких прямых будет ровно две точки пересечения с графиком.

Значения \( y \) на графике:

• Стремится к \( 0 \) при \( x \to 3^- \).
• От \( -2.5 \) до \( -4.5 \) на отрезке \( [3, 4] \).
• Начинается от \( -4.5 \) (не включая) при \( x > 4 \) и возрастает.

Прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком, когда:

• \( m = -4.5 \) (прямая совпадает с концом отрезка и началом луча).
• \( m \) находится в интервале \( (-4.5, -2.5] \) (одна точка на первой части, одна на второй).
• \( m = -2.5 \) (одна точка на первой части (выколотая, но ее значение совпадает с началом второй части), одна на второй).

С учётом того, что первая часть графика уходит в бесконечность вверх, и третья часть также уходит вверх, нам нужно рассмотреть интервалы.

Рассмотрим значения \( y \) на графике:

• Ветвь \( y = x - 3 \) при \( x < 3 \) принимает значения от \( -∞ \) до \( 0 \).
• Отрезок \( y = -2x + 3.5 \) при \( 3 \le x \le 4 \) принимает значения от \( -4.5 \) до \( -2.5 \).
• Луч \( y = 2x - 12.5 \) при \( x > 4 \) принимает значения от \( -4.5 \) до \( +∞ \).

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно две точки пересечения:

• Когда \( m = -4.5 \) (точка на отрезке и начало луча).
• Когда \( m \) находится в интервале \( (-4.5, -2.5] \) (одна точка на первой части графика, одна на второй).

Важно, что первая часть графика \( y=x-3 \) при \( x < 3 \) доходит до \( y=0 \) (не включая). Вторая часть — отрезок от \( (3, -2.5) \) до \( (4, -4.5) \). Третья часть — луч, начинающийся от \( (4, -4.5) \) и уходящий вверх.

Рассмотрим, где прямая \( y=m \) пересекает график ровно два раза:

1. Если \( m = -4.5 \), то прямая пересекает отрезок \( [-2.5, -4.5] \) в точке \( (4, -4.5) \) и луч \( y = 2x - 12.5 \) в точке \( (4, -4.5) \). Это одна точка.
2. Если \( m \) находится в интервале \( (-4.5, -2.5) \), то прямая пересекает отрезок \( y = -2x + 3.5 \) (одна точка) и луч \( y = 2x - 12.5 \) (одна точка). Всего две точки.
3. Если \( m = -2.5 \), то прямая пересекает начало отрезка \( (3, -2.5) \) (одна точка) и далее луч \( y = 2x - 12.5 \) (одна точка, когда \( 2x - 12.5 = -2.5 \) \( \Rightarrow 2x = 10 \) \( \Rightarrow x = 5 \)). Всего две точки.

Значит, \( m \) должно быть в интервале \( (-4.5, -2.5] \).

Ответ: \( m \) \( ∈ \) \( (-4.5; -2.5] \)