25. Через середину М медианы АР треугольника АВС и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение площади треугольника АМК к площади треугольника АВК.

Решение:

Пусть \( AP \) — медиана треугольника \( ABC \). Тогда \( P \) — середина стороны \( BC \), и \( BP \) — медиана. \( M \) — середина медианы \( AP \).

Рассмотрим \( △ ABС \) и медиану \( AP \). Точка \( M \) — середина \( AP \).

Проведем прямую \( BM \), пересекающую \( AC \) в точке \( K \).

Рассмотрим \( △ ABС \). Медиана \( AP \) делит его на два треугольника с равными площадями: \( S_{△ ABP} = S_{△ APC} \).

В \( △ ABР \) \( BM \) является медианой, так как \( M \) — середина \( AP \). Следовательно, \( S_{△ ABM} = S_{△ PBM} \).

В \( △ APC \) \( MK \) — отрезок, соединяющий середину стороны \( AP \) с точкой \( K \) на стороне \( AC \).

По теореме о средней линии, если \( MK \parallel PC \), то \( M \) — середина \( AP \) и \( K \) — середина \( AC \). Но мы не знаем, что \( MK \parallel PC \).

Рассмотрим \( △ ABС \). \( AP \) — медиана, \( P \) — середина \( BC \).

Через середину медианы \( AP \) проведена прямая \( BK \), пересекающая \( AC \) в точке \( K \).

Используем теорему Фалеса или свойство медианы. Проведем из \( M \) прямую, параллельную \( AC \), пересекающую \( BC \) в точке \( N \).

Рассмотрим \( △ ACР \). \( MK \) — линия, соединяющая \( M \) (середину \( AP \)) с \( K \) (на \( AC \)).

Рассмотрим \( △ APС \). \( M \) — середина \( AP \). \( BK \) — прямая. \( K \) — точка на \( AC \).

Сделаем дополнительное построение: проведем из \( M \) прямую, параллельную \( AC \), до пересечения со стороной \( BC \) в точке \( N \). Тогда \( MN \parallel AC \), и по теореме Фалеса, \( BN/NC = BM/MK …\)

Это усложняет решение. Попробуем иначе.

Обозначим площадь \( △ ABC \) как \( S \).

Тогда \( S_{△ ABР} = S_{△ APC} = \frac{1}{2}S \).

Так как \( M \) — середина \( AP \), то \( S_{△ ABM} = S_{△ PBM} = \frac{1}{2} S_{△ ABP} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}S = \frac{1}{4}S \).

И \( S_{△ AMC} = S_{△ PMC} = \frac{1}{2} S_{△ APC} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}S = \frac{1}{4}S \).

Теперь рассмотрим \( △ AKВ \) и \( △ AMК \). У них общая высота из вершины \( B \) к \( AC \) и из \( M \) к \( AC \) (если провести перпендикуляры). Нам нужно отношение площадей.

Площадь \( △ AMК \) можно выразить как \( \frac{1}{2} AK · h_M \), где \( h_M \) — высота из \( M \) к \( AC \).

Площадь \( △ ABК \) можно выразить как \( \frac{1}{2} AK · h_B \), где \( h_B \) — высота из \( B \) к \( AC \).

Отношение площадей будет \( \frac{S_{△ AMК}}{S_{△ ABК}} = \frac{h_M}{h_B} \).

Так как \( M \) — середина \( AP \), и \( MK \) — отрезок, то \( h_M = \frac{1}{2} h_B \) (если \( MK \parallel BP \) или \( BK — · · · \)).

Рассмотрим \( △ ACР \). \( M \) — середина \( AP \). \( K \) — точка на \( AC \). \( BK \) — прямая.

Рассмотрим \( △ ABC \). \( AP \) — медиана, \( P \) — середина \( BC \). \( BK \) — прямая, где \( K \) на \( AC \). \( M \) — середина \( AP \).

Проведем через \( M \) прямую, параллельную \( AC \), пересекающую \( BP \) в точке \( N \). По теореме Фалеса, \( AN/AP = BN/BP = MN/PC = 1/2 \).

Значит, \( N \) — середина \( BP \).

Рассмотрим \( △ ABР \). \( BM \) — медиана, \( N \) — середина \( BP \).

Рассмотрим \( △ ABP \). \( M \) — середина \( AP \), \( N \) — середина \( BP \). Тогда \( MN \) — средняя линия, \( MN ∥ AC \).

Теперь рассмотрим \( △ ABС \) и прямую \( BK \). \( K \) на \( AC \).

Пусть \( S_{△ ABC} = S \). Тогда \( S_{△ ABР} = S_{△ APC} = S/2 \).

\( S_{△ ABM} = S_{△ PBM} = \frac{1}{2} S_{△ ABP} = S/4 \).

\( S_{△ AMC} = S_{△ PMC} = \frac{1}{2} S_{△ APC} = S/4 \).

Треугольники \( △ ABK \) и \( △ AMK \) имеют общую вершину \( B \) и \( M \) относительно основания \( AK \) на прямой \( AC \).

Отношение их площадей равно отношению высот из \( B \) и \( M \) к прямой \( AC \), если бы \( K \) был общий, что не так.

Отношение площадей треугольников с общим основанием равно отношению их высот. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований.

\( S_{△ AMК} = \frac{1}{2} AK · h_M \), где \( h_M \) — высота из \( M \) к \( AC \).

\( S_{△ ABК} \) — площадь треугольника, основание \( AK \) на \( AC \), вершина \( B \). \( S_{△ ABК} = \frac{1}{2} AK · h_B \), где \( h_B \) — высота из \( B \) к \( AC \).

\( \frac{S_{△ AMК}}{S_{△ ABК}} = \frac{h_M}{h_B} \).

Так как \( M \) — середина \( AP \), и \( BK \) — прямая, то \( h_M \) является половиной высоты из \( B \) к \( AC \), при условии, что \( M \) находится на средней линии, параллельной \( AC \).

Сделаем такое построение: проведем из \( A \) перпендикуляр \( AH_A \) к \( BK \) и из \( M \) перпендикуляр \( MH_M \) к \( BK \).

Рассмотрим \( △ ABP \). \( M \) — середина \( AP \). \( BK \) — прямая, пересекающая \( AP \) в точке \( M \).

По теореме о площадях: \( \frac{S_{△ AMК}}{S_{△ ABК}} = \frac{MK}{BK} \) (если смотреть на \( △ ABK \) и \( △ AMK \) как на треугольники с общим основанием \( AK \) и высотами из \( B \) и \( M \) к \( AC \)).

Нам нужно найти отношение \( MK/BK \).

Рассмотрим \( △ APС \). \( M \) — середина \( AP \). \( K \) — точка на \( AC \). \( BK \) пересекает \( AP \) в \( M \).

Используем теорему Менелая для \( △ ACР \) и прямой \( KMB \).

\( \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CB}{BP} \cdot \frac{PM}{MA} = 1 \).

Так как \( AP \) — медиана, \( P \) — середина \( BC \). Значит, \( CB = 2BP \), следовательно \( CB/BP = 2 \).

\( PM = MA \) (так как \( M \) — середина \( AP \)), следовательно \( PM/MA = 1 \).

Подставляем в теорему Менелая:

\( \frac{AK}{KC} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \)

\( \frac{AK}{KC} = \frac{1}{2} \).

Это значит, что \( K \) делит сторону \( AC \) в отношении \( 1:2 \).

Теперь рассмотрим отношение площадей \( △ AMК \) и \( △ ABК \).

\( S_{△ AMК} = \frac{1}{2} AK · h_M \), где \( h_M \) — высота из \( M \) к \( AC \).

\( S_{△ ABК} = S_{△ ABM} + S_{△ AMК} \).

\( S_{△ ABM} = \frac{1}{4}S \).

\( S_{△ AMК} = \frac{1}{2} S_{△ APC} · \frac{AK}{AC} = \frac{1}{2} \frac{S}{2} \times \frac{AK}{AK+KC} = \frac{S}{4} \times \frac{AK}{AK+2AK} = \frac{S}{4} \times \frac{AK}{3AK} = \frac{S}{12} \).

\( S_{△ ABК} = S_{△ ABM} + S_{△ AMК} = \frac{S}{4} + \frac{S}{12} = \frac{3S+S}{12} = \frac{4S}{12} = \frac{S}{3} \).

Отношение \( \frac{S_{△ AMК}}{S_{△ ABК}} = \frac{S/12}{S/3} = \frac{S}{12} \times \frac{3}{S} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).

Ответ: 1/4