23 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади параллелограмма.

Решение:

Пусть площадь параллелограмма ABCD равна S. Проведем через точку E прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Пусть высота параллелограмма, опущенная на сторону AB (или CD), равна h, а длина стороны AB (или CD) равна b. Тогда S = b * h.

Пусть расстояние от точки E до стороны AB равно h₁ и расстояние от точки E до стороны CD равно h₂. Тогда h₁ + h₂ = h.

Площадь треугольника AED равна ½ * основание * высота. Основание AD = BC = b. Высота, опущенная на AD (или BC), равна расстоянию от E до AD (или BC).

Рассмотрим площади треугольников ВЕС и AED:

1. Площадь треугольника ВЕС:
   Основание BC = b. Высота, опущенная на BC (или ее продолжение), равна h₁ (расстояние от E до AB, т.к. AB || CD || EF, где EF - прямая через E, параллельная AB).
   S_ВЕС = ½ * BC * h₁ = ½ * b * h₁
2. Площадь треугольника AED:
   Основание AD = b. Высота, опущенная на AD (или ее продолжение), равна h₂ (расстояние от E до CD, т.к. CD || AB || GH, где GH - прямая через E, параллельная CD).
   S_AED = ½ * AD * h₂ = ½ * b * h₂
3. Сумма площадей треугольников ВЕС и AED:
   S_ВЕС + S_AED = ½ * b * h₁ + ½ * b * h₂ = ½ * b * (h₁ + h₂)
   Поскольку h₁ + h₂ = h (высота параллелограмма), то:
   S_ВЕС + S_AED = ½ * b * h
4. Площадь параллелограмма ABCD:
   S_ABCD = b * h
5. Следовательно:
   S_ВЕС + S_AED = ½ * S_ABCD

Таким образом, сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади параллелограмма.