23.) В треугольнике ABC <A=40°, <B=70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч BC – биссектриса угла ABD. Докажите, что АС и BD параллельны.

Решение:

1. Найдем угол C в треугольнике ABC: \( \angle C = 180° - (\angle A + \angle B) = 180° - (40° + 70°) = 180° - 110° = 70° \).

2. Так как \( \angle B = 70° \) и \( \angle C = 70° \), треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

3. Луч BC является биссектрисой угла ABD. Это означает, что \( \angle ABC = \angle CBD = \angle B \). Но по условию \( \angle B = 70° \).

4. В условии сказано, что \( BC \) – биссектриса угла \( ABD \). Если \( BC \) – биссектриса \( \angle ABD \), то \( \angle ABC = \angle CBD \). Но \( \angle ABC \) является углом треугольника ABC, равным 70°.

5. Если \( \angle ABC = 70° \) и \( BC \) - биссектриса \( \angle ABD \), то \( \angle ABD = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 70° = 140° \).

6. Рассмотрим прямые AC и BD и секущую AB. Угол \( \angle BAC = 40° \). Угол \( \angle ABD = 140° \). Эти углы не являются накрест лежащими, соответственными или односторонними.

7. Проведем другую секущую. Если \( AC \) || \( BD \), то накрест лежащие углы при секущей BC должны быть равны. \( \angle ACB = 70° \). \( \angle CBD = 70° \) (так как BC - биссектриса \( \angle ABD \) и \( \angle ABC=70° \)).

8. Поскольку \( \angle ACB = \angle CBD = 70° \) (как накрест лежащие углы при прямых AC и BD и секущей BC), то AC || BD.

Доказано.