23. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 56 см, а периметр треугольника АВМ равен 42 см.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим стороны треугольника ABC: AB = AC = x, BC = y.
2. Шаг 2: Периметр треугольника ABC: AB + AC + BC = 2x + y = 56.
3. Шаг 3: AM — медиана, проведенная к основанию BC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и биссектрисой.
4. Шаг 4: Следовательно, BM = MC = y/2.
5. Шаг 5: AM перпендикулярна BC.
6. Шаг 6: Периметр треугольника ABM: AB + BM + AM = 42.
7. Шаг 7: Подставим известные значения: x + y/2 + AM = 42.
8. Шаг 8: Из уравнения периметра ABC: y = 56 - 2x.
9. Шаг 9: Подставим y в уравнение для периметра ABM: x + (56 - 2x)/2 + AM = 42.
10. Шаг 10: x + 28 - x + AM = 42.
11. Шаг 11: 28 + AM = 42.
12. Шаг 12: AM = 42 - 28 = 14.
13. Шаг 13: Проверим с помощью теоремы Пифагора для треугольника ABM (так как AM — высота): AB^2 = BM^2 + AM^2.
14. Шаг 14: x^2 = (y/2)^2 + AM^2.
15. Шаг 15: x^2 = ((56 - 2x)/2)^2 + 14^2.
16. Шаг 16: x^2 = (28 - x)^2 + 196.
17. Шаг 17: x^2 = 28^2 - 56x + x^2 + 196.
18. Шаг 18: 0 = 784 - 56x + 196.
19. Шаг 19: 56x = 784 + 196 = 980.
20. Шаг 20: x = 980 / 56 = 17.5.
21. Шаг 21: AB = AC = 17.5.
22. Шаг 22: y = 56 - 2 * 17.5 = 56 - 35 = 21.
23. Шаг 23: BC = 21.
24. Шаг 24: BM = 21 / 2 = 10.5.
25. Шаг 25: Проверим периметр ABM: AB + BM + AM = 17.5 + 10.5 + 14 = 42. Это верно.

Ответ: 14