23) Построить сечение правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1, проходящее через ребро АВ и точку К — середину бокового ребра СС₁. Найти объемы отсекаемых частей, если объем призмы 100 м³.

Решение:

1. Построение сечения:

* Сечение проходит через ребро \( AB \) и точку \( K \) (середина \( CC_1 \)).

* Проведём прямую через \( K \) параллельно \( AB \). Так как \( ABCD \) и \( A_1B_1C_1D_1 \) — квадраты, то \( AB \parallel CD \) и \( A_1B_1 \parallel C_1D_1 \). Так как призма правильная, то \( AB \parallel A_1B_1 \).

* Через точку \( K \) (середина \( CC_1 \)) проведём прямую, параллельную \( AB \). Эта прямая пересечёт \( D_1C_1 \) в точке \( M \) (середина \( D_1C_1 \)) и \( BC \) в точке \( L \) (середина \( BC \)).

* Соединив точки \( A, B, K, M, L \), получим искомое сечение — пятиугольник \( ABLKМ \).

2. Нахождение объёмов отсекаемых частей:

* Сечение \( ABLKМ \) отсекает от призмы часть — четырёхугольную пирамиду \( D_1C_1KM \) и призму \( ABCDL_1M_1 \) (где \( L_1, M_1 \) — соответствующие точки на \( A_1B_1 \) и \( D_1C_1 \)).

* Объем всей призмы \( V_{призмы} = 100 \) м³.

* Рассмотрим отсекаемую часть — четырёхугольную пирамиду \( M C_1 K D_1 \). Основание \( M C_1 K D_1 \) — это половина квадрата \( C_1D_1M \) (так как \( M \) — середина \( C_1D_1 \)). Площадь основания \( S_{осн.пир} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \) (где \( a \) — сторона квадрата основания призмы). Высота пирамиды равна высоте призмы \( H \).

* Объем призмы \( V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot H = 100 \) м³.

* Боковое ребро \( CC_1 = H \). Точка \( K \) — середина \( CC_1 \), значит \( CK = C_1K = \frac{H}{2} \).

* Сечение \( ABLKМ \) разделяет призму на две части: призму \( ABCDL_1M_1 \) и правильную треугольную пирамиду \( C L K \) и \( C_1M_1K \).

* Объём отсекаемой части (пирамиды \( C L K \) и \( C_1M_1K \)) равен объёму призмы \( CLK C_1M_1K \) минус объём пирамиды \( CLK \).

* Так как \( L \) и \( M \) — середины сторон \( BC \) и \( CD \) соответственно, то сечение \( ABLKМ \) делит призму на две части, объёмы которых соотносятся как 1:3.

* Объём меньшей части (пирамида \( CDK M \) с вершиной \( C \) и основанием \( D_1C_1KM \)) равен \( \frac{1}{4} \) от общего объёма призмы, если \( K \) — середина \( C C_1 \) и \( M \) — середина \( D_1 C_1 \).

* Однако, сечение проходит через ребро \( AB \) и точку \( K \) (середина \( CC_1 \)). Это отсекает часть, объём которой равен \( \frac{1}{4} \) от общего объёма призмы.

* Объём одной отсекаемой части: \( V_1 = \frac{1}{4} \cdot 100 = 25 \) м³.

* Объём второй отсекаемой части: \( V_2 = 100 - 25 = 75 \) м³.

Ответ: Объёмы отсекаемых частей составляют 25 м³ и 75 м³.