23. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Для трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенной суммы квадратов оснований. Используем также формулу, связывающую диагонали и среднюю линию: площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Для диагоналей \(d_1=15\), \(d_2=7\) и средней линии \(m=10\) высота находится по формуле

\[h=\frac12\sqrt{d_1^2+d_2^2-2m^2}=\frac12\sqrt{225+49-200}=\frac12\sqrt{74}.\]

Тогда

\[S=mh=10\cdot\frac{\sqrt{74}}2=5\sqrt{74}.\]

Ответ: \(5\sqrt{74}\).