22. Постройте график функции y=x²-|6х+7| и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

Дано:

• Функция: y = x² - |6x + 7|

Найти: Значения 'm', при которых прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

1. Анализируем модуль:

• Случай 1: 6x + 7 ≥ 0, то есть x ≥ -7/6. В этом случае |6x + 7| = 6x + 7.
• Функция: y = x² - (6x + 7) = x² - 6x - 7.
• Случай 2: 6x + 7 < 0, то есть x < -7/6. В этом случае |6x + 7| = -(6x + 7) = -6x - 7.
• Функция: y = x² - (-6x - 7) = x² + 6x + 7.

2. Строим график:

• Парабола y = x² - 6x - 7 (для x ≥ -7/6):
• Вершина параболы: x_v = -b / (2a) = -(-6) / (2 * 1) = 3.
• y_v = 3² - 6*3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16. Вершина (3, -16).
• Точка пересечения с осью y (x=0): y = -7.
• Точка пересечения с осью x (y=0): x² - 6x - 7 = 0. x = (6 ± √(36 - 4*1*(-7))) / 2 = (6 ± √64) / 2 = (6 ± 8) / 2. x₁ = 7, x₂ = -1.
• Учитываем условие x ≥ -7/6 ≈ -1.17. Обе точки x=7 и x=-1 подходят.
• Парабола y = x² + 6x + 7 (для x < -7/6):
• Вершина параболы: x_v = -b / (2a) = -6 / (2 * 1) = -3.
• y_v = (-3)² + 6*(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2. Вершина (-3, -2).
• Точка пересечения с осью y (x=0): y = 7 (но эта часть графика только для x < -7/6, поэтому эта точка не входит).
• Точка пересечения с осью x (y=0): x² + 6x + 7 = 0. x = (-6 ± √(36 - 4*1*7)) / 2 = (-6 ± √8) / 2 = (-6 ± 2√2) / 2 = -3 ± √2.
• x₁ ≈ -3 + 1.41 = -1.59. x₂ ≈ -3 - 1.41 = -4.41. Обе точки подходят, так как они меньше -7/6.

3. Анализируем пересечения с прямой y=m:

• График функции состоит из двух частей парабол.
• Вершины находятся в точках (-3, -2) и (3, -16).
• График имеет «излом» в точке x = -7/6. Найдем значение y в этой точке:
• y = (-7/6)² - |-7/6 + 7| = 49/36 - |35/6| = 49/36 - 210/36 = -161/36 ≈ -4.47.
• Рассмотрим значения m:
• Если m < -16, прямая y=m не пересекает график (0 точек).
• Если m = -16 (уровень нижней вершины), прямая y=m пересекает график в одной точке (вершине параболы y=x²-6x-7).
• Если -16 < m < -161/36, прямая y=m пересекает график в двух точках (одна ветвь от y=x²-6x-7, другая от y=x²+6x+7).
• Если m = -161/36 (уровень «излома»), прямая y=m пересекает график в трех точках (одна точка на графике y=x²+6x+7 и две точки на графике y=x²-6x-7).
• Если -161/36 < m < -2, прямая y=m пересекает график в двух точках (обе на ветви y=x²+6x+7).
• Если m = -2 (уровень верхней вершины), прямая y=m пересекает график в трех точках (одна точка на y=x²+6x+7 и две точки на y=x²-6x-7).
• Если m > -2, прямая y=m пересекает график в двух точках (обе на ветви y=x²-6x-7).

Вывод: Три общие точки получаются при m = -161/36 и m = -2.

Ответ: -161/36; -2