22. Известно, что графики функций y=a-x² и y=x-2 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики функций в одной системе координат.

Пошаговое решение:

1. Приравниваем функции: Для нахождения точек пересечения приравниваем правые части уравнений:
   \( a - x^2 = x - 2 \)
2. Приводим к квадратному уравнению: Переносим все члены в одну сторону:
   \( x^2 + x + (2 - a) = 0 \)
3. Условие единственного решения: Для того чтобы это квадратное уравнение имело ровно один корень (и, следовательно, графики имели одну общую точку), его дискриминант \( D \) должен быть равен нулю.
   \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 1 · (2 - a) = 0 \)
4. Находим 'a': \( 1 - 8 + 4a = 0 \)
   \( -7 + 4a = 0 \)
   \( 4a = 7 \)
   \( a = \frac{7}{4} \)
5. Находим координату x: Когда \( D = 0 \), корень квадратного уравнения находится по формуле \( x = \frac{-b}{2a} \).
   \( x = \frac{-1}{2 · 1} = -\frac{1}{2} \)
6. Находим координату y: Подставляем найденное значение \( x \) в уравнение прямой (или параболы):
   \( y = x - 2 = -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{5}{2} \)
7. Координаты точки: Точка пересечения имеет координаты \( (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}) \).
8. Построение графиков:
   График функции \( y = \frac{7}{4} - x^2 \) — парабола с вершиной в точке (0; 7/4), ветви направлены вниз.
   График функции \( y = x - 2 \) — прямая с угловым коэффициентом 1 и пересекающая ось y в точке (0, -2).
   Графики должны касаться в точке \( (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}) \).

Ответ: Координаты точки: \((-\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})\).