22.(3 балла) Решить уравнение 2 cos² x - 5 sin x + 1 = 0.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) для замены \( \cos^2 x \) в уравнении: \( 2(1 - \sin^2 x) - 5 \sin x + 1 = 0 \).
2. Раскроем скобки: \( 2 - 2\sin^2 x - 5 \sin x + 1 = 0 \).
3. Приведем подобные члены и перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно \( \sin x \): \( 2\sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 \).
4. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 + 5t - 3 = 0 \).
5. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \).
6. Найдем корни \( t \): \( t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). \( t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \).
7. Вернемся к замене \( t = \sin x \):
   • \( \sin x = \frac{1}{2} \). Это возможно, так как \( -1 ≤ \frac{1}{2} ≤ 1 \). Общее решение: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).
   • \( \sin x = -3 \). Это невозможно, так как \( \sin x \) может принимать значения только в интервале \( [-1; 1] \).

Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).