19.(3 балла) Найдите: 1) промежутки возрастания и убывания функции, 2) точки экстремума и значения функции в этих точках y = x³ + 12x² +13.

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 + 12x^2 + 13)' = 3x^2 + 24x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 + 24x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель: \( 3x(x + 8) = 0 \).
4. Отсюда получаем два критических значения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -8 \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < -8 \), например \( x = -10 \): \( y' = 3(-10)^2 + 24(-10) = 300 - 240 = 60 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( -8 < x < 0 \), например \( x = -4 \): \( y' = 3(-4)^2 + 24(-4) = 48 - 96 = -48 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 0 \), например \( x = 1 \): \( y' = 3(1)^2 + 24(1) = 3 + 24 = 27 > 0 \). Функция возрастает.
6. Промежутки возрастания: \( (-\infty; -8] \) и \( [0; +\infty) \).
7. Промежутки убывания: \( [-8; 0] \).
8. Найдем значения функции в критических точках (точки экстремума):
   • При \( x = -8 \): \( y = (-8)^3 + 12(-8)^2 + 13 = -512 + 12(64) + 13 = -512 + 768 + 13 = 269 \). Это максимум.
   • При \( x = 0 \): \( y = (0)^3 + 12(0)^2 + 13 = 13 \). Это минимум.

Ответ: 1) Промежутки возрастания: \( (-\infty; -8] \) и \( [0; +\infty) \). Промежутки убывания: \( [-8; 0] \). 2) Точка максимума: \( (-8; 269) \). Точка минимума: \( (0; 13) \).