20.(3 балла) Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: y = x³ - 6x² + 9.

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 12x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель: \( 3x(x - 4) = 0 \).
4. Отсюда получаем критические значения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < 0 \), например \( x = -1 \): \( y' = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( 0 < x < 4 \), например \( x = 2 \): \( y' = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 4 \), например \( x = 5 \): \( y' = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
6. Промежутки возрастания: \( (-\infty; 0] \) и \( [4; +\infty) \).
7. Промежутки убывания: \( [0; 4] \).
8. Найдем значения функции в критических точках (точки экстремума):
   • При \( x = 0 \): \( y = (0)^3 - 6(0)^2 + 9 = 9 \). Это максимум.
   • При \( x = 4 \): \( y = (4)^3 - 6(4)^2 + 9 = 64 - 6(16) + 9 = 64 - 96 + 9 = -23 \). Это минимум.
9. Найдем точки пересечения с осями:
   • С осью y: при \( x = 0 \), \( y = 9 \). Точка \( (0; 9) \).
   • С осью x: \( x^3 - 6x^2 + 9 = 0 \). Это уравнение не решается простым способом.

Ответ: 1) Промежутки возрастания: \( (-\infty; 0] \) и \( [4; +\infty) \). Промежутки убывания: \( [0; 4] \). 2) Точка максимума: \( (0; 9) \). Точка минимума: \( (4; -23) \).