215 Два тела Р₁ и Р₂ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 127). Третье тело Р₃ подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р₁ и Р₂. (При этом AP₁ || BP₂ || CP₃.) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.

Решение:

Дано: AP₁ || BP₂ || CP₃. Тело P₃ уравновешивает P₁ и P₂.

Доказать: ∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.

Доказательство:

1. Рассмотрим углы ∠CAP₁ и ∠ACP. Так как AP₁ || CP₃ (по условию), то эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых AP₁ и CP₃ и секущей AC.

Следовательно, ∠CAP₁ = ∠ACP.

2. Рассмотрим углы ∠CBP₂ и ∠BCP. Так как BP₂ || CP₃ (по условию), то эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых BP₂ и CP₃ и секущей BC.

Следовательно, ∠CBP₂ = ∠BCP.

3. Угол ∠ACB является суммой углов ∠ACP и ∠BCP:

∠ACB = ∠ACP + ∠BCP.

4. Подставим вместо ∠ACP и ∠BCP равные им углы из пунктов 1 и 2:

∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.

Ответ: Доказано.