21. Вычислить площадь фигуры

Решение:

Судя по изображению, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 \) и касательной к ней. Однако, уравнение касательной или точки касания не указаны. Также на графике присутствует надпись \( y = x^2 \) и \( x^2 \), что не дает достаточной информации для вычисления площади.

Предполагая, что задача состоит в вычислении площади, ограниченной параболой \( y=x^2 \) и линией \( y=x^3 \), которая показана на изображении, выполним расчет.

Найдем точки пересечения графиков \( y = x^2 \) и \( y = x^3 \):

\( x^2 = x^3 \)
\( x^3 - x^2 = 0 \)
\( x^2(x - 1) = 0 \)

Точки пересечения: \( x=0 \) и \( x=1 \).

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций:

\[ S = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx \]
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \]
\[ S = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{4} \right) \]
\[ S = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - 0 \]
\[ S = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \]

Примечание: Без точного условия или графика, вычислить площадь фигуры невозможно. Приведенное решение основано на предположении, что искомая площадь ограничена кривыми \( y=x^2 \) и \( y=x^3 \) на интервале \( [0, 1] \), как это может подразумеваться рисунком.

Ответ: (невозможно точно определить без полного условия)