19. Вычислить интеграл ∫(x⁸ + 6x²)dx

Решение:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

\[ \int (x^8 + 6x^2) dx = \int x^8 dx + \int 6x^2 dx \]

Используем формулу интеграла степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ \int x^8 dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} + C_1 = \frac{x^9}{9} + C_1 \]\[ \int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = 2x^3 + C_2 \]

Складываем полученные результаты:

\[ \int (x^8 + 6x^2) dx = \frac{x^9}{9} + 2x^3 + C \]

Ответ: 4. x⁹/9 + 2x³