21. В угол C величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Построение: Мы имеем угол C, в который вписана окружность с центром O. Окружность касается сторон угла в точках A и B.
2. Свойства касательных: OA и OB — радиусы окружности, проведенные к точкам касания. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, углы OAC и OBC равны 90°.
3. Четырехугольник OACB: Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.
4. Известные углы: Угол C = 157°, угол OAC = 90°, угол OBC = 90°.
5. Находим угол AOB: Угол AOB = 360° - Угол C - Угол OAC - Угол OBC = 360° - 157° - 90° - 90° = 360° - 337° = 23°.

Ответ: 23