№21. В корзине лежит 42 гриба: маслята и подосиновики. Известно, что среди любых 25 грибов имеется хотя бы один маслёнок, а среди любых 19 грибов — хотя бы один подосиновик. Сколько подосиновиков в корзине?

Решение:

Пусть \( M \) — количество маслят, а \( П \) — количество подосиновиков.

Общее количество грибов: \( M + П = 42 \).

Условие 1: Среди любых 25 грибов имеется хотя бы один маслёнок.

Это означает, что если мы возьмём 25 грибов, то среди них будет как минимум один маслёнок. Максимальное количество подосиновиков, которое можно взять, чтобы не было ни одного маслёнка, это \( П \). Если \( П \) грибов — это подосиновики, то если мы возьмём \( П + 1 \) гриб, среди них гарантированно будет хотя бы один маслёнок. Это условие говорит, что если мы возьмём 25 грибов, среди них обязательно будет маслёнок. Это означает, что количество подосиновиков не может быть таким, чтобы можно было выбрать 25 грибов, и все они были подосиновиками. Иными словами, если мы возьмём все подосиновики, их должно быть меньше 25.

\( П < 25 \) (если бы \( П = 25 \), то мы могли бы выбрать 25 подосиновиков, и условие бы не выполнялось).

Условие 2: Среди любых 19 грибов — хотя бы один подосиновик.

Это означает, что если мы возьмём 19 грибов, то среди них будет как минимум один подосиновик. Максимальное количество маслят, которое можно взять, чтобы не было ни одного подосиновика, это \( M \). Если \( M \) грибов — это маслята, то если мы возьмём \( M + 1 \) гриб, среди них гарантированно будет хотя бы один подосиновик. Это условие говорит, что если мы возьмём 19 грибов, среди них обязательно будет подосиновик. Это означает, что количество маслят не может быть таким, чтобы можно было выбрать 19 грибов, и все они были маслятами. Иными словами, если мы возьмём все маслята, их должно быть меньше 19.

\( M < 19 \) (если бы \( M = 19 \), то мы могли бы выбрать 19 маслят, и условие бы не выполнялось).

Теперь используем общее количество грибов:

\( M + П = 42 \)

У нас есть два неравенства:

\( П < 25 \)

\( M < 19 \)

Подставим \( M = 42 - П \) во второе неравенство:

\( 42 - П < 19 \)

\( 42 - 19 < П \)

\( 23 < П \)

Итак, мы получили два неравенства для \( П \): \( П < 25 \) и \( П > 23 \).

Единственное целое число, которое удовлетворяет обоим условиям, это \( П = 24 \).

Проверим это:

Если \( П = 24 \), то \( M = 42 - 24 = 18 \).

Условие 1: Среди любых 25 грибов есть хотя бы один маслёнок. Максимум подосиновиков — 24. Если взять 25 грибов, то обязательно будет маслёнок. Верно.

Условие 2: Среди любых 19 грибов есть хотя бы один подосиновик. Максимум маслят — 18. Если взять 19 грибов, то обязательно будет подосиновик. Верно.

Ответ: 24