21. Упростите выражение: 5ⁿ⁺¹ - 5ⁿ⁻¹ / 2 5ⁿ

Решение:

Упростим выражение \( \frac{5^{n+1} - 5^{n-1}}{2 \cdot 5^n} \).

Преобразуем числитель:

\( 5^{n+1} - 5^{n-1} = 5^n · 5^1 - 5^n · 5^{-1} \)

Вынесем общий множитель \( 5^n \):

\( 5^n (5 - 5^{-1}) = 5^n (5 - \frac{1}{5}) \)

Приведем к общему знаменателю в скобках:

\( 5^n (\frac{25}{5} - \frac{1}{5}) = 5^n \frac{24}{5} \).

Теперь подставим это обратно в дробь:

\( \frac{5^n · \frac{24}{5}}{2 · 5^n} \)

Сократим \( 5^n \):

\( \frac{\frac{24}{5}}{2} \)

Разделим \( \frac{24}{5} \) на 2:

\( \frac{24}{5} · \frac{1}{2} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \).

Можно представить в виде десятичной дроби: \( 2.4 \).

Ответ: \( \frac{12}{5} \) или 2.4.