13. Тип Решите неравенство x² - 1 ≤ 0

Решение:

Неравенство \( x² - 1 ≤ 0 \) можно решить несколькими способами.

Способ 1: Метод интервалов.

1. Найдем корни уравнения \( x² - 1 = 0 \): \( x² = 1 \), \( x = ±1 \).
2. Отметим корни на числовой прямой: -1 и 1.
3. Определим знаки выражения \( x² - 1 \) на интервалах:
• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2)² - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \).
• При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0² - 1 = -1 < 0 \).
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( 2² - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \).
4. Так как неравенство \( x² - 1 ≤ 0 \), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю.
5. Решение: \( [-1; 1] \).

Способ 2: Аналитический.

\( x² - 1 ≤ 0 \)

\( x² ≤ 1 \)

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

\( \sqrt{x²} ≤ \sqrt{1} \)

\( |x| ≤ 1 \)

Это означает, что \( -1 ≤ x ≤ 1 \).

Ответ: 2) [-1;1].