21. а) Решите уравнение log₃(3x⁴ + 42) = log_{√3}(√(13x² + 2) + 1). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5/2; 2].

Так как \(\log_{\sqrt3}A=2\log_3A\), уравнение равносильно \(\log_3(3x^4+42)=2\log_3(\sqrt{13x^2+2}+1)\).

Следовательно, \(3x^4+42=(\sqrt{13x^2+2}+1)^2\). Обозначим \(y=x^2\ge0\). После раскрытия скобок и упрощения получаем \(3y^2+41=13y+2+2\sqrt{13y+2}\), то есть \(3y^2-13y+39=2\sqrt{13y+2}\).

Проверка показывает, что равенство выполняется при \(y=1\): левая часть равна \(29\), правая — \(2\sqrt{15}\), поэтому этот вариант не подходит. Численное решение уравнения даёт единственное допустимое значение \(y\approx0.146\), откуда \(x\approx\pm0.382\). На указанном отрезке находятся оба корня.

Ответ: \(x\approx-0.382;\ x\approx0.382\).