18. а) Решите уравнение 3 + 2^(6x + 3) = 25·2^(3x). б) Найдите корни этого уравнения на отрезке [log₈2; log₈9].

Положим \(t=2^{3x}>0\). Тогда \(2^{6x+3}=8t^2\), поэтому \(8t^2-25t+3=0\).

Дискриминант: \(D=625-96=529=23^2\). Отсюда \(t=\frac{25\pm23}{16}\), то есть \(t=3\) или \(t=\frac18\).

Получаем \(2^{3x}=3\Rightarrow x=\frac13\log_2 3\), либо \(2^{3x}=2^{-3}\Rightarrow x=-1\).

Промежуток \([\log_8 2;\log_8 9]\) равен \([\frac13;\log_8 9]\). В него входит только \(x=\frac13\log_2 3=\log_8 27\), поскольку \(\log_8 27\approx1.585\), а \(\log_8 9\approx1.057\); следовательно, этот корень также не входит. Корней на отрезке нет.

Ответ: а) \(x=-1;\ x=\frac13\log_2 3\); б) корней нет.