21. (3 балла) Решите систему уравнений: x-y=7, (log2(3x + y) = 3

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x - y = 7 \\ \log_2(3x + y) = 3 \end{cases} \)

1. Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \( y = x - 7 \).
2. Преобразуем второе уравнение. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
3. \( 3x + y = 2^3 \)
4. \( 3x + y = 8 \)
5. Теперь подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе: \( 3x + (x - 7) = 8 \).
6. Решим полученное уравнение относительно \( x \): \( 4x - 7 = 8 \).
7. \( 4x = 8 + 7 \).
8. \( 4x = 15 \).
9. \( x = \frac{15}{4} \).
10. Найдем \( y \), подставив значение \( x \) в выражение \( y = x - 7 \): \( y = \frac{15}{4} - 7 \).
11. \( y = \frac{15}{4} - \frac{28}{4} = \frac{15 - 28}{4} = -\frac{13}{4} \).
12. Проверим, удовлетворяют ли найденные значения \( x \) и \( y \) условию существования логарифма (аргумент логарифма должен быть положителен): \( 3x + y > 0 \).
13. \( 3(\frac{15}{4}) + (-\frac{13}{4}) = \frac{45}{4} - \frac{13}{4} = \frac{32}{4} = 8 \). \( 8 > 0 \), значит, условие выполнено.

Ответ: \( x = \frac{15}{4}, y = -\frac{13}{4} \).