20. Решите уравнение 2x²+7x+3 / x²-9 = 1.

Решение:

Дано уравнение: \[ \frac{2x^2 + 7x + 3}{x^2 - 9} = 1 \]

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

• x² - 9 ≠ 0
• x² ≠ 9
• x ≠ 3 и x ≠ -3

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель (x² - 9), чтобы избавиться от дроби:

• 2x² + 7x + 3 = 1 * (x² - 9)
• 2x² + 7x + 3 = x² - 9

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• 2x² - x² + 7x + 3 + 9 = 0
• x² + 7x + 12 = 0

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D = b² - 4ac):

• a = 1, b = 7, c = 12
• D = 7² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

Найдем корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-7 + √1) / (2 * 1) = (-7 + 1) / 2 = -6 / 2 = -3
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-7 - √1) / (2 * 1) = (-7 - 1) / 2 = -8 / 2 = -4

Теперь проверим полученные корни по ОДЗ:

• x₁ = -3. Это значение не входит в ОДЗ (x ≠ -3), поэтому этот корень является посторонним.
• x₂ = -4. Это значение входит в ОДЗ.

Следовательно, единственным решением уравнения является x = -4.

Финальный ответ: -4