16. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с центром описанной окружности (центроидом, ортоцентром). Радиус вписанной окружности (r) и радиус описанной окружности (R) связаны соотношением R = 2r.

Высота (h) равностороннего треугольника равна сумме радиуса вписанной и описанной окружностей: h = r + R = r + 2r = 3r.

Нам дан радиус вписанной окружности r = 3.

Тогда высота треугольника h = 3 * 3 = 9.

Формула высоты равностороннего треугольника со стороной 'a': h = (a√3) / 2.

Теперь найдем сторону 'a':

• 9 = (a√3) / 2
• 18 = a√3
• a = 18 / √3
• a = (18√3) / 3
• a = 6√3

Финальный ответ: 6√3