20. Решите неравенство \( \frac{14}{x^2 + 5x - 14} \leq 0 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем неравенство. Дробь \( \frac{14}{x^2 + 5x - 14} \) должна быть меньше или равна нулю. Числитель (14) — положительное число. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель \( x^2 + 5x - 14 \) должен быть отрицательным.
2. Шаг 2: Решаем квадратное уравнение \( x^2 + 5x - 14 = 0 \), чтобы найти корни знаменателя.
• Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81 \).
• Находим корни: \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \).
• \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
3. Шаг 3: Знаменатель \( x^2 + 5x - 14 \) равен нулю при \( x = -7 \) и \( x = 2 \). Эти значения не входят в решение, так как на ноль делить нельзя.
4. Шаг 4: Парабола \( y = x^2 + 5x - 14 \) ветвями вверх (коэффициент при \( x^2 \) равен 1 > 0). Она отрицательна между корнями.
5. Шаг 5: Следовательно, \( x^2 + 5x - 14 < 0 \) при \( -7 < x < 2 \).

Ответ: \( (-7; 2) \)