20. Найдите область определения функции y = log₂(-x²+2x+3)

Решение:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \).
2. Умножим неравенство на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \).
3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
4. Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
5. Корни: \( x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \).
6. Так как ветви параболы \( y = x^2 - 2x - 3 \) направлены вверх, а нам нужно \( < 0 \), то решением будет интервал между корнями.
7. \( -1 < x < 3 \)

Ответ: \( (-1; 3) \).