2. Упростите выражения: 8 * 100^n / (2^(2n-1) * 2^(2n+1))

Решение:

Используем свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

1. Преобразуем знаменатель: \( 2^{2n-1} \cdot 2^{2n+1} = 2^{(2n-1) + (2n+1)} = 2^{4n} \)
2. Преобразуем числитель: \( 8 \cdot 100^n = 2^3 \cdot (10^2)^n = 2^3 \cdot 10^{2n} \)
3. Запишем дробь: \( \frac{2^3 \cdot 10^{2n}}{2^{4n}} \)
4. Выразим \( 10^{2n} \) как \( (2 \cdot 5)^{2n} = 2^{2n} \cdot 5^{2n} \).
5. Дробь становится: \( \frac{2^3 \cdot 2^{2n} \cdot 5^{2n}}{2^{4n}} = \frac{2^{3+2n} \cdot 5^{2n}}{2^{4n}} \)
6. Упрощаем: \( 2^{(3+2n) - 4n} \cdot 5^{2n} = 2^{3-2n} \cdot 5^{2n} \)
7. Можно записать как: \( \frac{2^3 \cdot 5^{2n}}{2^{2n}} = \frac{8 \cdot (5^2)^n}{(2^2)^n} = \frac{8 \cdot 25^n}{4^n} \)
8. Или как \( \frac{8 \cdot 100^n}{16^n} \).

Ответ: \( \frac{8 \cdot 100^n}{16^n} \) или \( 8 \cdot \left(\frac{100}{16}\right)^n \) или \( 8 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^n \)