2. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги АМВ. АМ - диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ.

1. Пусть дуга АСВ = x, тогда дуга АМВ = x + 60°. Сумма дуг равна 360°, следовательно, x + (x + 60°) = 360°, откуда 2x = 300°, x = 150°. Дуга АСВ = 150°, дуга АМВ = 210°.

2. Угол АМВ является вписанным и опирается на дугу АСВ, поэтому ∠АМВ = 150°/2 = 75°.

3. Угол АСВ является вписанным и опирается на дугу АМВ, поэтому ∠АСВ = 210°/2 = 105°.

4. Так как АМ - диаметр, то угол АВМ является вписанным и опирается на диаметр, следовательно, ∠АВМ = 90°.

5. Углы треугольника АМВ: ∠АМВ = 75°, ∠АВМ = 90°, ∠МАВ = 180° - 90° - 75° = 15°.

6. Углы треугольника АСВ: ∠АСВ = 105°, ∠АВC = 180° - 90° = 90°, ∠САВ = 180° - 105° - 90° = -15° (невозможно).

7. Переосмыслим условие: точки А и В делят окружность на две дуги. Пусть меньшая дуга АВ = x, большая дуга АВ = y. Тогда y = x + 60°. x + y = 360°. x + (x + 60°) = 360°. 2x = 300°. x = 150°. Большая дуга АВ = 210°.

8. Угол АМВ опирается на дугу АВ, поэтому ∠АМВ = 210°/2 = 105°.

9. Угол АСВ опирается на дугу АВ, поэтому ∠АСВ = 150°/2 = 75°.

10. АМ - диаметр, значит ∠АВМ = 90°.

11. Ответ: ∠АМВ = 105°, ∠АВМ = 90°, ∠АСВ = 75°.