2. Сторона ромба равна 20, а острый угол равен 60°. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Задание 2. Диагональ ромба

Дано:

• Ромб со стороной \( a = 20 \).
• Острый угол \( \alpha = 60^\circ \).

Найти: длину меньшей диагонали \( d_1 \).

Решение:

В ромбе все стороны равны. Диагонали ромба делят его углы пополам и пересекаются под прямым углом.

Рассмотрим ромб \( ABCD \), где \( AB = BC = CD = DA = 20 \), и \( \angle A = 60^\circ \).

Диагональ \( BD \) делит угол \( B \). Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \), то \( \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABD \). Он равнобедренный, так как \( AB = AD = 20 \). Угол \( \angle A = 60^\circ \).

Так как два угла треугольника равны (два угла при основании равны), а сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), то углы при основании \( BD \) равны:

$$ \angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $$

Таким образом, \( \triangle ABD \) является равносторонним, так как все его углы равны \( 60^\circ \).

Следовательно, диагональ \( BD \) равна стороне ромба:

$$ d_1 = BD = AB = 20 $$

Это и есть меньшая диагональ, так как больший угол ромба (\( 120^\circ \)) делит другая диагональ (\( AC \)).

Ответ: 20.