2. Решите уравнение методом введения новой переменной: б) (x² - 2x)² + (x² - 2x) = 12

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся методом введения новой переменной.

1. Введение новой переменной:
   Пусть \( y = x^2 - 2x \).
   Тогда исходное уравнение примет вид:
   \( y^2 + y = 12 \)
2. Решение квадратного уравнения относительно y:
   Перенесем все члены в одну часть:
   \( y^2 + y - 12 = 0 \)
   Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 1 · (-12) = 1 + 48 = 49 \).
   Найдем корни \( y_1, y_2 \):
   \( y_1 = rac{-b + √{D}}{2a} = rac{-1 + √{49}}{2 · 1} = rac{-1 + 7}{2} = rac{6}{2} = 3 \)
   \( y_2 = rac{-b - √{D}}{2a} = rac{-1 - 7}{2} = rac{-8}{2} = -4 \)
3. Обратная замена: Теперь вернемся к переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) обратно в \( y = x^2 - 2x \).
   Случай 1: \( y_1 = 3 \)
   \( x^2 - 2x = 3 \)
   \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
   Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16 \).
   \( x_1 = rac{2 + √{16}}{2 · 1} = rac{2 + 4}{2} = rac{6}{2} = 3 \)
   \( x_2 = rac{2 - √{16}}{2 · 1} = rac{2 - 4}{2} = rac{-2}{2} = -1 \>
   Случай 2: \( y_2 = -4 \)
   \( x^2 - 2x = -4 \)
   \( x^2 - 2x + 4 = 0 \)
   Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: \( D = (-2)^2 - 4 · 1 · 4 = 4 - 16 = -12 \).
   Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это уравнение не имеет действительных корней.

Финальный ответ:

Ответ: $$x = 3$$, $$x = -1$$