2. Решите уравнение методом введения новой переменной: a) 4x⁴ - 17x² + 4 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения используем метод введения новой переменной.

1. Введение новой переменной:
   Пусть \( y = x^2 \). Так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, то \( y ≥ 0 \).
   Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = y^2 \).
   Подставим \( y \) в исходное уравнение:
   \( 4y^2 - 17y + 4 = 0 \)
2. Решение квадратного уравнения относительно y:
   Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 · 4 · 4 = 289 - 64 = 225 \).
   Найдем корни \( y_1, y_2 \):
   \( y_1 = rac{-b + √{D}}{2a} = rac{17 + √{225}}{2 · 4} = rac{17 + 15}{8} = rac{32}{8} = 4 \)
   \( y_2 = rac{-b - √{D}}{2a} = rac{17 - 15}{8} = rac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
3. Обратная замена: Теперь вернемся к переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) обратно в \( y = x^2 \).
   Случай 1: \( y_1 = 4 \)
   \( x^2 = 4 \)
   \( x = ±√{4} \)
   \( x = ± 2 \)
   Случай 2: \( y_2 = \frac{1}{4} \)
   \( x^2 = \frac{1}{4} \)
   \( x = ±√{\frac{1}{4}} \)
   \( x = ± \frac{1}{2} \)

Финальный ответ:

Ответ: $$x = 2$$, $$x = -2$$, $$x = 1/2$$, $$x = -1/2$$